Ինչպես գտնել 3X3 մատրիցայի որոշիչ ՝ 12 քայլ

2023 Հեղինակ: Virginia Parson | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-11-26 18:33

Մատրիցայի որոշիչը հաճախ օգտագործվում է հաշվարկման, գծային հանրահաշվի և առաջադեմ երկրաչափության մեջ: Մատրիցայի որոշիչը գտնելը սկզբում կարող է շփոթեցուցիչ լինել, բայց դա ավելի հեշտ է դառնում մի քանի անգամ դա անելուց հետո:

Քայլեր

2 -րդ մաս 1 -ին. Որոշիչին գտնելը

Քայլ 1. Գրեք ձեր 3 x 3 մատրիցան:

Մենք կսկսենք 3 x 3 մատրիցով A և կփորձենք գտնել դրա որոշիչը | A |. Ահա ընդհանուր մատրիցային նշումը, որը մենք կօգտագործենք, և մեր օրինակը ՝

M = (a11a12a13a21a22a23a31a32a33) = (153247462) { displaystyle M = { begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} a_ { 31} & a_ {32} & a_ {33} end {pmatrix}} = { սկսել {pmatrix} 1 & 5 & 3 / 2 & 4 & 7 / 4 & 6 & 2 / end {pmatrix}}}

Քայլ 2. Ընտրեք մեկ տող կամ սյունակ:

Սա կլինի ձեր տեղեկատու տողը կամ սյունակը: Դուք կստանաք նույն պատասխանը, անկախ նրանից, թե որ մեկն եք ընտրում: Առայժմ, պարզապես ընտրեք առաջին շարքը: Հետագայում մենք որոշ խորհուրդներ կտանք, թե ինչպես ընտրել հաշվարկելու ամենահեշտ տարբերակը:

Եկեք ընտրենք մեր օրինակի A. տողի առաջին շարքը: Շրջապատեք 1 5 -ը 3. Ընդհանուր առմամբ, շրջանագծեք a- ն₁₁ ա₁₂ ա₁₃.

Քայլ 3. Խաչեք ձեր առաջին տարրի տողն ու սյունակը:

Նայեք ձեր շրջապատած տողին կամ սյունակին և ընտրեք առաջին տարրը: Նրա տողի և սյունակի միջով գծեք գիծ: Ձեզ պետք է մնան չորս թվեր: Մենք դրանք կդիտարկենք որպես 2 x 2 մատրիցա:

Մեր օրինակում մեր տեղեկատու տողը 1 5 է: Առաջին տարրը 1 -ին և 1 -ին սյունակներում են: Խաչեք 1 -ին և 1 -ին սյունակները: Մնացած տարրերը գրեք որպես 2 x 2 մատրիցա:
1 5 3

2 4 1

4 6 2

Քայլ 4. Գտեք 2 x 2 մատրիցայի որոշիչը:

Հիշեք, որ մատրիցը (abcd) { displaystyle { begin {pmatrix} a & b / c & d / end {pmatrix}}}

has a determinant of ad - bc. You may have learned this by drawing an X across the 2 x 2 matrix. Multiply the two numbers connected by the / of the X. Then subtract the product of the two numbers connected by the /. Use this formula to calculate the determinate of the matrix you just found.

In our example, the determinant of the matrix (4762){displaystyle {begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}}

= 4 * 2 - 7 * 6 = - 34.
This determinant is called the minor of the element we chose in our original matrix. In this case, we just found the minor of a₁₁.

Քայլ 5. Պատասխանը բազմապատկեք ձեր ընտրած տարրի վրա:

Հիշեք, որ դուք ընտրել եք տարր ձեր տեղեկատու տողից (կամ սյունակից), երբ որոշել եք, թե որ տողն ու սյունակը պետք է հատել: Այս տարրը բազմապատկեք 2x2 մատրիցի համար նոր հաշվարկված որոշիչով:

Մեր օրինակում մենք ընտրեցինք ա₁₁, որն ուներ 1. արժեք. բազմապատկեք սա -34 -ով (2x2- ի որոշիչ) `ստանալու համար 1*-34 = - 34.

Քայլ 6. Որոշեք ձեր պատասխանի նշանը:

Հաջորդը, դուք կբազմապատկեք ձեր պատասխանը կամ 1 -ով կամ -1 -ով `ստանալու համար կոֆակտոր ձեր ընտրած տարրի վրա: Թե որն եք օգտագործում, կախված է այն բանից, թե որտեղ է տարրը տեղադրվել 3x3 մատրիցում: Հիշեք այս պարզ նշանների աղյուսակը ՝ հետևելու համար, թե որ տարրն է առաջացնում.

+ - +

- + -

+ - +
Քանի որ մենք ընտրեցինք ա₁₁, նշված +-ով, թիվը բազմապատկում ենք +1 -ով: (Այլ կերպ ասած, հանգիստ թողեք:) Պատասխանը դեռ մնում է - 34.
Այլապես, կարող եք գտնել նշանը (-1) բանաձևով ^ես+ժ , որտեղ i և j տարրը շարքն ու սյունակն են:

Քայլ 7. Կրկնեք այս գործընթացը ձեր հղման տողի կամ սյունակի երկրորդ տարրի համար:

Վերադարձեք սկզբնական 3x3 մատրիցային, այն տողով կամ սյունակով, որը դուք ավելի վաղ շրջապատել եք: Կրկնել նույն գործընթացը այս տարրով.

Խաչեք այդ տարրի տողն ու սյունակը:

Մեր դեպքում ընտրեք տարր ա₁₂ (5 արժեքով): Խաչիր առաջին տողը (1 5 3) և սյունակը երկու (546) { displaystyle { սկիզբ {pmatrix} 5 / 4 / 6 / end {pmatrix}}}
Treat the remaining elements as a 2x2 matrix.

In our example, the matrix is (2742){displaystyle {begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}}
Find the determinant of this 2x2 matrix.

Use the ad - bc formula. (2*2 - 7*4 = -24)
Multiply by the chosen element of the 3x3 matrix.

-24 * 5 = -120
Determine whether to multiply by -1.

Use the sign chart or the (-1)^ij formula. We chose element a₁₂, which is - on the sign chart. We must change the sign of our answer: (-1)*(-120) = 120.

Քայլ 8. Կրկնեք երրորդ տարրով:

Դուք ևս մեկ կոֆակտոր ունեք գտնելու: Հաշվարկեք i- ն երրորդ հղման համար ձեր հղման տողում կամ սյունակում: Ահա արագ ակնարկ, թե ինչպես եք հաշվարկում a- ի համակցումը₁₃ մեր օրինակում.

Գծեք 1 -ին և 3 -րդ սյունակները ՝ ստանալու համար (2446) { displaystyle { begin {pmatrix} 2 & 4 / 4 & 6 / end {pmatrix}}}
Its determinant is 2*6 - 4*4 = -4.
Multiply by element a₁₃: -4 * 3 = -12.
Element a₁₃ is + on the sign chart, so the answer is - 12.

Քայլ 9. Ավելացրեք ձեր երեք արդյունքները միասին:

Սա վերջին քայլն է: Դուք հաշվարկել եք երեք կոֆակտոր, մեկը յուրաքանչյուր տողի կամ սյունակի համար: Ավելացրեք դրանք միասին և գտաք 3x3 մատրիցի որոշիչը:

Մեր օրինակում որոշիչ է - 34 + 120 + - 12 = 74.

2 -րդ մաս 2 -ից. Խնդիրն ավելի դյուրին դարձնել

Քայլ 1. Ընտրեք ամենաշատ զրոներ ունեցող տեղեկանքը:

Հիշեք, որ որպես տեղեկանք կարող եք ընտրել ցանկացած տող կամ սյունակ: Դուք կստանաք նույն պատասխանը, անկախ նրանից, թե որն եք ընտրում: Եթե դուք ընտրում եք զրոներ ունեցող տող կամ սյունակ, ապա ձեզ հարկավոր է հաշվարկել միայն զրո տարրերի կոֆակտորը: Ահա թե ինչու.

Ենթադրենք, դուք ընտրում եք 2 -րդ տողը ՝ a տարրերով₂₁, ա₂₂, և ա₂₃. Այս խնդիրը լուծելու համար մենք կանդրադառնանք երեք տարբեր 2x2 մատրիցների: Եկեք նրանց անվանենք Ա₂₁, Ա₂₂, և Ա₂₃.
3x3 մատրիցայի որոշիչն ա₂₁| Ա₂₁| - ա₂₂| Ա₂₂| + ա₂₃| Ա₂₃|.
Եթե պայմաններ ա₂₂ եւ ա₂₃ երկուսն էլ 0 են, մեր բանաձևը դառնում է a₂₁| Ա₂₁| - 0*| Ա₂₂| + 0*| Ա₂₃| = ա₂₁| Ա₂₁| - 0 + 0 = ա₂₁| Ա₂₁| Այժմ մեզ մնում է հաշվարկել միայնակ տարրի համաֆակտորը:

Քայլ 2. Մատրիցան ավելի դյուրին դարձնելու համար օգտագործեք տողերի գումարումը:

Եթե վերցնում եք մեկ տողի արժեքները և ավելացնում դրանք մեկ այլ տողի, ապա մատրիցայի որոշիչը չի փոխվում: Նույնը վերաբերում է սյուներին: Դուք կարող եք դա անել մի քանի անգամ, կամ արժեքները ավելացնելուց առաջ մի հաստատունով բազմապատկել ՝ մատրիցայում հնարավորինս շատ զրո ստանալու համար: Սա կարող է ձեզ շատ ժամանակ խնայել:

Օրինակ, ասեք, որ ունեք 3 x 3 մատրիցա. (9−1231075−2) { displaystyle { begin {pmatrix} 9 & -1 & 2 / 3 & 1 & 0 / 7 & 5 & -2 / end {pmatrix}}}
In order to cancel out the 9 in position a₁₁, we can multiply the second row by -3 and add the result to the first. The new first row is [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
The new matrix is (0−4231075−2){displaystyle {begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}}

Try to use the same trick with columns to turn a₁₂ into a 0 as well.

Քայլ 3. Իմացեք եռանկյուն մատրիցների դյուրանցումը:

Այս հատուկ դեպքերում որոշիչը պարզապես տարրերի արտադրյալն է հիմնական անկյունագծի երկայնքով ՝ a- ից₁₁ վերևում ձախից մինչև a₃₃ ներքևի աջ մասում: Մենք դեռ խոսում ենք 3x3 մատրիցների մասին, բայց «եռանկյուն» ձևերն ունեն ոչ զրո արժեքների հատուկ նախշեր.

Վերին եռանկյուն մատրիցա. Բոլոր ոչ զրո տարրերը գտնվում են հիմնական անկյունագծի վրա կամ վերևում: Ստորև ամեն ինչ զրո է:
Ստորին եռանկյուն մատրիցա. Բոլոր ոչ զրո տարրերը գտնվում են հիմնական անկյունագծի վրա կամ ներքևում:
Շեղակի մատրիցա. Բոլոր ոչ զրո տարրերը գտնվում են հիմնական անկյունագծի վրա: (Վերը նշվածի ենթաբազմություն):

Տեսանյութ - Այս ծառայությունից օգտվելով ՝ որոշ տեղեկություններ կարող են կիսվել YouTube- ի հետ:

Խորհուրդներ

Եթե տողի կամ սյունակի բոլոր տարրերը 0 են, ապա այդ մատրիցայի որոշիչը 0 է:
Այս մեթոդը տարածվում է ցանկացած չափի քառակուսի մատրիցների վրա: Օրինակ, եթե սա օգտագործում եք 4x4 մատրիցի համար, ձեր «հատումը» թողնում է ձեզ 3x3 մատրիցով, որի համար դուք որոշում եք որոշիչը, ինչպես նկարագրված է վերևում: Warnedգուշացեք, սա ձեռքով շատ հոգնեցուցիչ է դառնում: